В качестве критерия оптимальности транспортных перевозок. Критерий оптимальности транспортной задачи

Показано как распознать обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Рассмотрен способ решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка. Дан пример подробного решения такого уравнения.

Определение

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α · y , x → t·x .
Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это - обобщенное однородное дифференциальное уравнение . Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Делаем замену y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ :
;
.
Разделим на t α+5 :
;
.
Уравнение не будет содержать t , если
4 α - 6 = 0 , α = 3/2 .
Поскольку при α = 3/2 , t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение .

Метод решения

Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α .
Действительно,
.
Отсюда
; .
(1) :
;
.

Это - однородное уравнение . Оно решается подстановкой:
y = z · t ,
где z - функция от t .
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α ,
где z - функция от x .

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ .
.
Разделим на t α :
.
t сократится, если положить α = -1 . Значит - это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y = z x α = z x -1 ,
где z - функция от x .
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1) :
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные - умножим на dx и разделим на x z 2 . При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов :
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С :
.

Возвращаемся к переменной y . Подставляем z = xy :
.
Делим на x :
(П.2) .

Когда мы делили на z 2 , мы предполагали, что z ≠ 0 . Теперь рассмотрим решение z = xy = 0 , или y = 0 .
Поскольку при y = 0 , левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0 .

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях

Пусть существует уравнение. Если - обычная функция, то ее решение есть первообразная, то есть. Пусть теперь - обобщенная функция.

Определение. Обобщенная функция называется первообразной обобщенной функцией, если. Если - сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная - регулярная обобщенная функция. Например, первообразная является; первообразная является функция, а решение уравнения можно записать в виде: , где.

Есть линейное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами

где - обобщенная функция. Пусть - дифференциальный полином -го порядка.

Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (8) называется обобщенная функция, для которой выполняется соотношение:

Если - непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (8) является классическое решение.

Определение. Фундаментальным решением уравнения (8) называется любая обобщенная функция такая, что.

Функция Грина - фундаментальное решение, удовлетворяющее граничному, начальному или асимптотическому условию.

Теорема. Решение уравнения (8) существует и имеет вид:

если только свертка определена.

Доказательство. Действительно, . По свойству свертки следует: .

Нетрудно увидеть, что фундаментальным решением этого уравнения является, так как

Свойства обобщенных производных

Операция дифференцирования линейна и непрерывна из в:

в, если в;

Каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Действительно, если, то; в свою очередь и т.д.;

Результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Например, ;

Если и, то справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения. Например, ;

Если обобщенная функция, то;

Если ряд, составленный из локально интегрируемых функций, сходится равномерно на каждом компакте, то его можно почленно дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию), и полученные ряды будут сходится в.

Пример. Пусть

Функция называется функцией Хевисайда или единичной функцией. Она локально интегрируема и потому может рассматриваться как обобщенная функция. Можно найти ее производную. Согласно определению, т.е. .

Обобщенные функция, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами

До сих пор рассматривались исключительно квадратичные формы с вещественными коэффициентами. В этом пункте исследуется пространство всех квадратичных форм с комплексными коэффициентами.

Задачей является определение обобщенной функции, где - комплексное число. Однако в общем случае не будет однозначной аналитической функцией от. Поэтому в пространстве всех квадратичных форм выделяют «верхнюю полуплоскость» квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью и определяют для них функцию. А именно, если квадратичная форма принадлежит этой «полуплоскости», то пологается, где. Такая функция является однозначной аналитической функцией от.

Можно сопоставить теперь функции обобщенную функцию:

где интегрирование ведется по всему пространству. Интеграл (13) сходится при и является в этой полуплоскости аналитической функцией от. Продолжая аналитически эту функцию, определяется функционал для других значений.

Для квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью находятся особые точки функций и вычисляются вычеты этих функций в особых точках.

Обобщенная функция аналитически зависит не только от, но и от коэффициентов квадратичной формы. Тем самым, является аналитической функцией в верхней «полуплоскости» всех квадратичных форм вида, где есть положительно определенная форма. Следовательно, однозначно определяется своими значениями на «мнимой полуоси», т. е. на множестве квадратичных форм вида, где - положительно определенная форма.